Question

计算曲面积分

Answer 1

计算曲面积分
∑不为封闭曲面
所以补充平面∑1：z=0 (x^2+y^2<=2)(取下侧）
∑+∑1:封闭曲面,取外侧
I总=（∑+∑1）∫∫(1-z)dxdy
高斯公式：
=∫∫∫[-1]dxdydz
=-∫∫∫1dxdydz
使用柱坐标:
则z的积分限（0，2-r^2）
r的积分限（0，2^0.5）
θ的积分限（0，2π）
=-∫(0，2π）dθ∫(0,2^0.5)rdr∫(0,2-r^2)dz
=-2π∫(0,2^0.5)(2r-r^3)]rdr

=-2π[r^2-(1/4)r^4](0,2^0.5)
=-2π(2-1)
=-2π
因为：I1=（∑1）∫∫(1-z)dxdy
=-∫∫（Dxy）1dxdy
=-2π
所以：I=I总-I1=-2π-(-2π)=0