有理数乘方的表示
22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2与7叫做底数（base）,2与3叫做指数（exponent）。
这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方（power），乘方的结果叫做幂（power），a叫做底数（base number），n叫指数（exponent）。任何数的0次方都是1。例：3 º=1. 同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。
推导：
设a^m*a^n中，m=2，n=4，那么
a^2*a^4
=（a*a）*(a*a*a*a)
=a*a*a*a*a*a
=a^6
=a^(2+4)
所以代入：a^m*a^n=a^(m+n)
用字母表示为：
a^m·a^n=a^(m+n) 或 a^m÷a^n=a^(m－n) （m、n均为自然数）
1）15^2×15^3； 2）3^2×3^4×3^8； 3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90
1）15^2×15^3=15^(2+3)=15^5
2）3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14
3）5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095[1] a^0=1 ，其中a≠0 ，k∈N*
推导：
a^0
=a^(1-1)
=(a^1)/(a^1)
=a/a
=1 a^(-k)=1/(a^k) ，其中a≠0,k∈N*
推导：
a^(-k)
=a^(0-k)
=(a^0)/(a^k)
=1/(a^k)[2] a^(m/n)=
，其中n≠0 ， m/n>0，m,n∈N*（即m,n为正整数） a^[-(m/n)]=
，其中，a^m≠0（
≠0，a≠0），m/n>0，n≠0，m,n∈N*
推导：
a^[-(m/n)]
=a^(0-m/n)
=(a^0)/[a^(m/n)]
=1/[a^(m/n)]
=1/
=
分数指数幂时，当n=2k,k∈N*， 且a^m<0时，则该数在实数范围内无意义
特别地，0的非正数指数幂没有意义 两数和乘两数差等于它们的平方差。
用字母表示为：
（a+b）（a-b)=a^2-b^2
推导：
(a+b)(a-b)
=(a+b)a-(a+b)b
=(a^2+ab)-(b^2+ab)
=a^2-b^2[3] 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
用字母表示为：
（a^m）^n=a^(m×n)
幂的乘方
特别指出：a^m^n=a^(m^n) 积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为：
（a×b）^n=a^n×b^n
这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如：
（a×b×c）^n=a^n×b^n×c^n 同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。
用字母表示为：
（a^n）*（b^n）=（ab）^n 两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（或者减去）它们的积的2倍。
用字母表示为：
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2或（a－b）^2=a^2－2ab+b^2
我们一般把前者叫作完全平方公式，把后者叫作完全平方差公式。 艾萨克·牛顿发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说，二项式也可以这样表示：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…… …… ……
这就是著名的杨辉三角。 有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。
由n个1组成的数的平方
我们观察下面的例子。
1^2=1
11^2=121
111^2=12321
1111^2=1234321
11111^2=123454321
111111^2=12345654321
……
由以上例子可以看出这样一个规律；求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：
11…1（n个1）^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321
注意：其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。
由n个3组成的数的平方
我们仍观察具体实例：
3^2=9
33^2=1089
333^2=110889
3333^2=11108889
33333^2=1111088889
由此可知：
33…3（n个3）^2 = 11…11【(n-1)个1】0 88…88【(n-1)个8】9
个位是5的数的平方
把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成；（10a+5）^2的形式。根据完全平方式推导；
（10a+5）^2=（10a）^2+2×10a×5+5^2
=100a^2+100a+25
=100a×（a+1）+25
=a×（a+1）×100+25
由此可知：个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。
