数列通项公式的常见类型
递推公式为 ，且f(n)可以求和
例：数列{an}，满足a1=1/2，an+1 = an + 1/(4n2-1)，求{an}通项公式
解：an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an = a1 +（1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)）
∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )= 递推公式为 且f(n)可求积
例：数列{an }满足 ，且a1=4，求an
解：
an = 2n(n+1) 将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列 适当的进行运算变形
例：{an} 中，a1=3且 an+1 = an2, 求an
解：ln an = ln an2 = 2 ln an
∴{ln an}是等比数列，其中公比q = 2，首项为ln3
∴ln an = (2n-1) ln3
故 倒数变换法（适用于an+1 = A*an / (B*an + C),其中，A、B、C∈R）
例：{an}中，a1=1，an+1 = an / ( 2an + 1 )
解：1 / an+1 = ( 2an+1 ) / an = 1/an +2
∴{1/an}是等差数列，首项是1，公差是2
∴an = 1 / (2n-1) 待定系数法
A.递推式为an+1 = p*an + q（p，q为常数），可以构造递推数列{an + x}为 以p为公比的等比数列，
即an+1 + x=p*(an+x)，其中 x = q / (p-1) （或者可以把设定的式子拆开，等于原式子）
例：{an}中a1=1，an+1 = 3an+4,求an
解：an+1 + 2 = 3(an+2)
∴{an+2}是等比数列 首项是3，公比是3
∴an = 3n - 2
B.递推公式为an+1 = p*an + qn（p，q是常数）
常规变形，将两边同时除以qn+1
得到an+1 / qn+1 = (p / q)*( an/qn)+1/q
再令bn = an / qn,
可以得到bn+1 = k*bn + m（其中k=p/q , m=1/q）
之后就用上面A中提到的方法来解决
C.递推公式为an+2 = p*an+1+q*an,（p，q是常数）
可以令an+2 =x2 , an+1 = x , an = 1
解出x1和x2，可以得到两个式子
an+1 - x1 * an = x2 * (an - x1 * an-1)
an+1 - x2 * an =x1* (an - x2* an-1)
然后，两式子相减，左边可以得出来 （k为系数）
右边就用等比数列的方法得出来
例：{an}中，a1=1, a2=2, an+2 = (2/3)an+1=(1/3) an
解：x2 = 2x/3 = 1/3
x1=1,x2=-1/3
可以得到方程组
an+1 - an = - (1/3)* (an - an-1)
an+1 +(1/3)* an = an + (1/3)*an-1
解得an = 7/4 - 3/4×(-1/3)^(n-1)
D.递推式an+1 = p* an + an +b（a，b，p是常数）
可以变形为an+1 + xn+1 +y = p*(an + xn + y)
然后和原式子比较，可以得出x，y，
即可以得到{an+xn+y}是个 以p为公比的等比数列
例：{an}中，a1=4， an=3an-1 + 2n-1 (n≥2)
解：原式= an + n+1= 3 [an-1 + (n-1)+1]
∴{an+n+1}为等比数列，q=3，首项是6
∴an = 2×3n - n - 1 特征根法
递推式为an+1 = (A*an+B) / (C*an+D) （A，B，C，D是常数）
令an+1 = an = x,原式则为x = (Ax+B) / (Cx+D)
(1)若解得相同的实数根x0，则可以构造数列{1/(an-x0)}为等差数列
例：{an}满足a1 = 2，an+1 = (2an-1)/(4an+6),求an
解：x = (2x-1) / (4x+6)
解得x0 = - 1/2
1/(an+1/2)=1/[(2an-1-1)/(4an-1+6) +1/2]=1/[an-1 + 1/2] +1
∴{1/(an + 1/2)}是等差数列，d=1，首项是2/5
∴an=5/(5n-3) -1/2
(2)若解得两个相异实根x1,x2,则构造{(an - x1)/(an - x2)}为等比数列（x1,x2的位置没有顺序，可以调换）
例：{an}满足a1 = 2，an+1 = (an+2)/(2an+1)
解：由题可得(an-1)/(an+1)=-1/3 [an-1 - 1]/[an-1 + 1]
则{(an-1)/(an+1)}是等比数列，q=-1/3，首项是1/3
∴an = [1 + (-1)n-1 (1/3)n] / [1 - (-1)n-1 (1/3)n]
(3)如果没有实数根，那么这个数列可能是周期数列
例：{an}中，a1 = 2,满足an+1 = an-1 / an (n≥2)
解：a1 = 2 , a2 = 1/2 , a3 = -1 , a4 = 2 , a5 = 1/2 ……
所以an = 2（n MOD 3 = 1），1/2（n MOD3 = 1），－1（n MOD 3 = 0）
（准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示） 例：{an}满足a₁+ 2a₂+ 3a₃+……+ nan = n(n+1)(n+2)
解：令bn = a₁+ 2a₂+ 3a₃+……+ nan = n(n+1)(n+2)
nan = bn - bn-1 = n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
∴an = 3（n+1）
