①cos(1/x)是有界函数吗？②arctanx是有界函数吗？③什么样的函数是有界函数？
cos(1/x)是有界函数；arctanx是有界函数。
有界函数定义：设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。
因为-1≤cos(1/x)≤1，按照上面定义，cos(1/x)是有界函数。
因为arctanx的定义域为(-∞，+∞)，对应值域为(-pi/2,pi/2)，即-pi/2<arctanx<pi/2，所以arctanx是有界函数。
扩展资料
1、有界函数并不一定是连续的。例如，对y=cos(1/x)，x=0为震荡间断点。(可见第一个图)
2、函数的性质除了有界性，还有单调性，周期性，连续性，可积性。
3、无界函数定义：函数y=f(x)在定义域上只有上界(或只有下界)；或者既没有上界又没有下界，称f(x)在定义域上无界，在定义域无界的函数称为无界函数 。
举例，y=tanx在定义域为(-pi/2,pi/2)，对应值域为(-∞，+∞)，即既没有上界又没有下界，故y=tanx是无界函数。
参考资料来源：百度百科-有界函数
参考资料来源：百度百科-无界函数
sin， cos ，arctan都是有界函数。
①-1≦cos(1/x)≦1
②-π／2arctanx＜π／2
这只能根据反正切函数f(x)=arctanx的定义来证明：
f(x)=arctanx是函数f（x）=tanx（x∈（-π/2，π/2））的反函数。
本来反正切函数应该是正切函数的反函数。但是正切函数是周期函数，没有反函数。所以我们只能截取正切函数的一段单调区间，去做反函数，截取的就是x∈（-π/2，π/2）这个区间。
既然f(x)=arctanx是函数f（x）=tanx（x∈（-π/2，π/2））的反函数，那么arctanx的值域就是tanx（x∈（-π/2，π/2））的定义域，即-π/2＜arctanx＜π/2
所以arctanx有界。
扩展资料：
设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）
则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。
参考资料来源：百度百科-有界函数
①-1≦cos(1/x)≦1
②-π／2arctanx＜π／2③什么样的函数是有界函数？看上面两题你就理解有界函数了
