Question

一道较难的数学题

y=5-（2/（n+1))-（2/（n+2)) n为大于1的正整数
求证：2n＜y＜2n+3
打错了
应为y=2n-（2/（n+1))-（2/（n+2))+3

Answer 1

y=2n-（2/（n+1))-（2/（n+2))+3

(2/(n+1))+(2/(n+2))=2n+3-y

n为大于1的正整数

(2/(n+1))+(2/(n+2)) 〉0
所以

2n+3-y 〉0
所以2n+3 〉y

y=2n-（2/（n+1))-（2/（n+2))+3
（2/（n+1))-（2/（n+2))-3=2n-y

（12n+16-9nˇ2-27n-18）/（3（n+1）（n+2））=2n-y
（-9nˇ2-15n-2）/（3（n+1）（n+2））=2n-y

因为n为大于1的正整数
所以（-9nˇ2-15n-2）＜0

所以（-9nˇ2-15n-2）/（3（n+1）（n+2））＜0
所以 2n-y＜0

所以2n＜y

综合以上得
2n＜y＜2n+3

Answer 2

怎么这么多小括号啊。。。

Answer 3

证明2n＜y＜2n+3
可以分别证明 y>2n (i) ,
y<2n+3(ii)
由于y=2n - （2/（n+1))-（2/（n+2))+3
所以,要证明(i)成立,只须证明 3-(2/(n+1)-(2/(n+2))>0 (iii)成立.
欲证 (ii),即要证 -（2/（n+1))-（2/（n+2))+3 < 3 (iv)成立.

因为n>1,且是整数,所以 0< 2/(n+1)+2/(n+2) <= 1+2/3
所以 0 > -(2/(n+1)-(2/(n+2)) >= -1-2/3
3=0+ 3 > -(2/(n+1)-(2/(n+2))+3 >= -1-2/3+3 =2-2/3=1/3>0
所以,(iii) (iv)成立.
即(i) (ii)得证.
所以 2n＜y＜2n+3