Question

高中数学函数

已知函数f(x)=1/(4的x次方+2）x属于R
1.已知点（1,1/6）在f(x)的图像上，判断其关于点（1/2,1/4）对称的点是否仍在f(x)的图像上
2.求证：函数f(x)的图像关于点（1/2,1/4）对称
3.若数列（an）的通项公式an=f(n/m)(m属于正整数，n=1,2,3,...m)，求数列(an)的前m项相和Sm

Answer 1

解：（1）设该点为（x,y），
则（x+1）/2=1/2，得x=0
（y+1/6）/2=1/4，得y=1/3
所以该点为（0，1/3）
而f（0）=1/(4^0+2)=1/3，
所以点（1,1/6）的图像关于点（1/2,1/4）对称的点仍在f(x)的图像上

（2）设点（x，y）是f（x）上的任意点，（a，b）是其关于点（1/2,1/4）对称后的点，则y=1/(4^x+2）,得,4^x=1/y-2
则，（a+x）/2=1/2，得a=1-x
（b+y）/2=1/4，得b=1/2-y
f(a)=1/(4^(1-x)+2）=4^x/(2*4^x+4)=(1/y-2)/(2*(1/y-2)+4)=1/2-y=b
所以， 函数f(x)的图像关于点（1/2,1/4）对称

（3)a1=f(1/m),a(m-1)=f((m-1)/m),
因为(1/m+(m-1)/m)/2=1/2，
由（2）知函数f(x)的图像关于点（1/2,1/4）对称
所以f(1/m)+f((m-1)/m）/2=1/4，得f(1/m)+f((m-1)/m）=1/2
所以2Sm=f(1/m)+f(2/m)+f(3/m)+…+f((m-1)/m）+f(m/m)+
f((m-1)/m）+f((m-2)/m）+f((m-3)/m）+…+f（1/m）+f(m/m)
=（m-1）*1/2+2*1/6=m/2-1/6
所以Sm=m/4-1/12