Question

证明:a,b是整数,且a不等于b,n是正整数,则(a-b)|(a^n-b^n)

Answer 1

证：

n=1时，aⁿ-bⁿ=a-b，包含因子a-b，(a-b)|(a-b)

n=2时，aⁿ-bⁿ=a²-b²=(a-b)(a+b)，包含因子a-b，(a-b)|(a²-b²)

假设当n=k(k∈N*且k≥2)时，(a-b)|[a^(k-1) -b^(k-1)]，(a-b)|(a^k -b^k)

则当n=k+1时，

a^(k+1)- b^(k+1)

=(a+b)(a^k -b^k)- a^k·b+a·b^k

=(a+b)(a^k -b^k) -ab[a^(k-1)-b^(k-1)]

前一项包含因子a^k -b^k，能被a-b整除；后一项包含因子a^(k-1) -b^(k-1)，能被a-b整除

因此(a+b)(a^k -b^k) -ab[a^(k-1)-b^(k-1)]能被a-b整除

(a-b)|[a^(k+1)- b^(k+1)]

k为任意不小于2的正整数，又n=1、n=2时的情况已经予以证明

因此对于任意正整数n，(a-b)|(aⁿ-bⁿ)

用途

关于正整数的六边形数部分，对任意正数n，设b(n)表示n的最大六边形数部分，即就是b(n)=m(2m-1)，如果m(2m-1)≤n<(m+1)(2m+1)，m∈N。正整数，为大于0的整数，也是正数与整数的交集。正整数又可分为质数，1和合数。正整数可带正号（+），也可以不带。如：+1、+6、3、5，这些都是正整数。 0既不是正整数，也不是负整数（0是整数）。

Answer 2

证：
n=1时，aⁿ-bⁿ=a-b，包含因子a-b，(a-b)|(a-b)
n=2时，aⁿ-bⁿ=a²-b²=(a-b)(a+b)，包含因子a-b，(a-b)|(a²-b²)
假设当n=k(k∈N*且k≥2)时，(a-b)|[a^(k-1) -b^(k-1)]，(a-b)|(a^k -b^k)
则当n=k+1时，
a^(k+1)- b^(k+1)
=(a+b)(a^k -b^k)- a^k·b+a·b^k
=(a+b)(a^k -b^k) -ab[a^(k-1)-b^(k-1)]
前一项包含因子a^k -b^k，能被a-b整除；后一项包含因子a^(k-1) -b^(k-1)，能被a-b整除
因此(a+b)(a^k -b^k) -ab[a^(k-1)-b^(k-1)]能被a-b整除
(a-b)|[a^(k+1)- b^(k+1)]
k为任意不小于2的正整数，又n=1、n=2时的情况已经予以证明
因此对于任意正整数n，(a-b)|(aⁿ-bⁿ)