Question

设f（x）具有二阶连续导数，且f′（0）=0， lim x→0 f″(x) /x ＝1，则（　

设f（x）具有二阶连续导数，且f′（0）=0，
lim
x→0
f″(x)
/x
＝1，则（　　）
A. f（0）是f（x）的极大值
B. f（0）是f（x）的极小值
C. （0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
D. f（0）不是f（x）的极值，（0，f（0））也不是曲线y=f（x）的拐点

Answer 1

f ′ (a)=0,f ′′ (a)≠0 只是f(x) 在x=a 处取极值的充分条件,非必要条件.
比如f(x)=x^4 ,有f ′ (0)=f ′′ (0)=0 但在 x=0 处显然是取极小值.
就这题而言：
因lim(x→0) f ′′ (x) / |x| =1 ,由局部保号性有,
存在一去心邻域U° (0,δ) ,使得对在这个去心邻域内有 f ′′ (x) / |x| > 1 / 2
所以有f ′′ (x)> |x| / 2 >0 ,而由连续性有f ′′ (0)=0
去是,在邻域U°(0,δ) 内有f ′′ (x)≥0 ,且只x=0 处f ′′ (x)=0
于是f ′′ (x) 在邻域U°(0,δ) 内严格单增
于是在该邻域内有xf ′ (0)=0 ,
导数是由负变正,所以取极小值.