Question

求一道数学几何题初中的

设D E F 分别为直角三角形ABC（C为直角顶点）的三边BC CA AB上的点，AD BE CF交与点0。求证角CDA=角FDB，当且仅当AE=2EC， 图好画，我就不插图了

Answer 1

延长FD、AC相较于G，延长DF至H，连BH，使BH//AC。
易得，BH/CG=BD/DC,
变形为BD/DC=BH/CG,记作1式
同时，BH/GA=BF/FA，
变形为AF/BF=AG/BH,记作2式
由已知CE/EA=1/2
利用赛瓦定理：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,将式1、2、3代入，可得
AG=2CG，即AC=CG,
又DC垂直于AG，
于是得到角ADC=角GDC=角BDF

Answer 2

延长FD、AC相较于G，延长DF至H，连BH，使BH//AC。
易得，BH/CG=BD/DC,
变形为BD/DC=BH/CG,记作1式
同时，BH/GA=BF/FA，
变形为AF/BF=AG/BH,记作2式
由已知CE/EA=1/2
利用赛瓦定理：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1,将式1、2、3代入，可得
AG=2CG，即AC=CG,
又DC垂直于AG，
于是得到∠ADC=∠GDC=∠BDF

好了，完成了

Answer 3

我看不懂那个是条件哪个是结论所以两种都整一遍

一、当∠CDA=∠FDB，证明AE=2CE，

作GF⊥BC,∴△BGF∽△BCA,∴AF/BF=CG/BG,BG/BC=GF/AC

∵∠CDA=∠FDG,∠ACD=∠FGD=90°，

∴△ACD∽△FGD

∴DG/CD=GF/AC=BG/BC,

∴DG*BC=BG*CD  

∵AD,BE,CF交于O点

∴由赛瓦定理可知，(AE/CE)*(CD/BD)*(BF/AF)=1

∴AE/CE=(AF/BF)*(BD/CD)=(CG/BG)*(BD/CD)=(BD*CG)/(BG*CD)

  =(BG+DG)*(CD+DG)/(BG*CD)

  =[BG*CD+(BG+CD)*DG+DG^2]/(BG*CD)

  =1+DG*(DG+BG+CD)/(BG*CD)

  =1+(DG*BC)/(BG*CD)=1+1=2

∴AE=2CE

二、当AE=2CE，证明∠CDA=∠FDB

作GF⊥BC,∴△BGF∽△BCA,∴AF/BF=CG/BG,BG/BC=GF/AC

∵AD,BE,CF交于O点

∴由赛瓦定理可知，(AE/CE)*(CD/BD)*(BF/AF)=1

∴AE/CE=(AF/BF)*(BD/CD)=(CG/BG)*(BD/CD)=(BD*CG)/(BG*CD)

  =(BG+DG)*(CD+DG)/(BG*CD)

  =[BG*CD+(BG+CD)*DG+DG^2]/(BG*CD)

  =1+DG*(DG+BG+CD)/(BG*CD)

  =1+(DG*BC)/(BG*CD）=2

∴(DG*BC)/(BG*CD）=1

∴DG/CD=BG/BC=GF/AC

∵∠ACD=∠FGD=90°

∴△ACD∽△FGD

∴∠ADC=∠FDB

Answer 4

.....................
把图发一下

Answer 5

上图