Question

设矩阵a=(a 1 0,1 a -1,0 1 a)且a³=0.求a的值

Answer 1

∵aˆ5＋a＋1＝0

∴aˆ5－a²＋a²＋a＋1＝0

a²﹙a³－1﹚＋﹙a²＋a＋1﹚＝0

a²＋a＋1＝0或a³－a²＋1＝0

且a=0.a的值是a＋a＋1＝0或a－a＋1＝0。

a²＋a＋1＝0，则a＝[﹣1±√﹙﹣3﹚]/2＝½﹙﹣1±√3i﹚

因为a²+a-1=0，得到a1=（-1+√5）/2，a2=（-1-√5）/2

所以a³+a²+2=（a²+a）a+2=a+2=（3+√5）/2

或a³+a²+2=（3-√5）/2

﹙a²＋a＋1﹚﹙a³－a²＋1﹚＝0

简正模式

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。

Answer 2

∵aˆ5＋a＋1＝0
∴aˆ5－a²＋a²＋a＋1＝0
a²﹙a³－1﹚＋﹙a²＋a＋1﹚＝0
﹙a²＋a＋1﹚[a²﹙a－1﹚＋]＝0
﹙a²＋a＋1﹚﹙a³－a²＋1﹚＝0
a²＋a＋1＝0或a³－a²＋1＝0
如果你是初中在读，那么a²＋a＋1＝0时，a不是实数，∴a³－a²＋1＝0，a³－a²＝﹣1
如果高中及其以上程度，那么分下列两种情形讨论：
若①a²＋a＋1＝0，则a＝[﹣1±√﹙﹣3﹚]/2＝½﹙﹣1±√3i﹚
a³－a²＝a³－1＋1－a²＝﹙a－1﹚﹙a²＋a＋1﹚＋1－a²＝1－[½﹙﹣1±√3i﹚]²＝2＋√3/2i或½－√3/2i
若②a³－a²＋1＝0，则a³－a²＝﹣1
综合a³－a²＝2＋√3/2i或½－√3/2i或﹣1

Answer 3

按行展开，a(a²+1)－1×a=0,a=0

Answer 4

a=(a 1 0,1 a -1,0 1 a)且a³=0.a的值是a²＋a＋1＝0或a³－a²＋1＝0。

a²＋a＋1＝0，则a＝[﹣1±√﹙﹣3﹚]/2＝½﹙﹣1±√3i﹚

因为a²+a-1=0，得到a1=（-1+√5）/2，a2=（-1-√5）/2，

所以a³+a²+2=（a²+a）a+2=a+2=（3+√5）/2，或 a³+a²+2=（3-√5）/2

﹙a²＋a＋1﹚﹙a³－a²＋1﹚＝0       所以   a²＋a＋1＝0或a³－a²＋1＝0

Answer 5

A³＝0，两边取行列式，丨A³丨＝0，丨A丨³＝0，丨A丨＝0，即原矩阵的行列式＝0，解出a＝0