Question

极限的唯一性怎么理解

极限的唯一性怎么理解极限的唯一性指的是：在某一个点处只能有一个极限。另一个点当然可以存在极限，它的极限也是唯一的，很多点都可能有极限，但是这个点只要一确定，极限也是确定的，不可能出现同一个点处两个极限。 这样理解对吗？？？？

Answer 1

证明如下：
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，根据极限的柯西定义，有如下结论：
任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。

总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。

令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。
因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。

倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。
证毕。

Answer 2

连续的函数
在一点的极限只有一个
这一点左极限=右极限=函数值

不连续的函数
在分段点左右极限可能不同
则此时称这一点极限不存在