Question

大神！高数。积分中值定理！书上是闭区间。做题却都是开区间！怎么解释？？

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Answer 1

（a ， b）

如果用介值定理证明积分中值定理，由于介值定理的结论是[a，b]，故证明的积分中值定理结论也是[a，b]，如果用拉格朗日中值定理证明的话，由于拉中的结论只能推出(a，b)，所以证出来的积分中值定理也只能是(a，b)。

积分中值定理有三个形式（起码在数学分析里是三种）：第一中值及其推广形式，以及第二中值定理。其中第一中值定理的描述是说中值点在闭区间取，同时注明开区间内也一定存在中值点。证明过程看你用什么工具，证明闭区间结论的一定是牵扯到函数的连续性，开区间的一定是出现在微分中值定理。

开区间是推广定理，我也不知道考研到底让不让用，但是确实是可以证明的。

Answer 2

开区间是推广定理，我也不知道考研到底让不让用，但是确实是可以证明的。下面的是推广定理，g(x)=1即可

Answer 3

首先，积分中值定理有三个形式（起码在数学分析里是三种），第一中值及其推广形式，以及第二中值定理。其中第一中值定理的描述是说中值点在闭区间取，同时注明开区间内也一定存在中值点。证明过程看你用什么工具，证明闭区间结论的一定是牵扯到函数的连续性，开区间的一定是出现在微分中值定理

Answer 4

设一个函数g（x）为∫f（x）dx。
对g（x）用拉格朗日中值定理有
g（b）-g（a）=g'（n）（b-a），n属于（a，b）的开区间
又因为g'（x）=f（x）（不懂的话看看变限积分，可以百度一下）
得到∫f（x）dx=f（n）（b-a）， n属于（a，b）的开区间
所以做题可以用积分中值定理证明开区间。

Answer 5

看《高数十八讲》p97有一定启发，如果用介值定理证明积分中值定理，由于介值定理的结论是[a，b]，故证明的积分中值定理结论也是[a，b]；如果用拉格朗日中值定理证明的话，由于拉中的结论只能推出(a，b)，所以证出来的积分中值定理也只能是(a，b)。
一家之言，经供参考