Question

高等数学第37题。求具体证明过程

Answer 1

供参考
先证明引理：（伯努利不等式）(1+x)^r＞1+rx(x＞0,r＞1)
引理的证明：令f(x)=(1+x)^r-rx-1,则f'(x)=r(1+x)^(r-1)-r=r[(1+x)^(r-1)-1].∵1+x＞1,r-1＞0,∴(1+x)^(r-1)＞1^(r-1)=1,∴f'(x)＞0,即f(x)单调递增,∴f(x)＞f(0)=0,∴(1+x)^r＞1+rx(x＞0,r＞1),引理得证
回到原题,注意到y/x＞0,1/y＞1,在引理中令x取y/x,r取1/y即得(1+y/x)^(1/y)＞1+1/x＞1/x
∴1+y/x＞(1/x)^y=1/x^y＞0,∴x^y＜x/(x+y)
同理可证y^x＜y/(x+y)
两式相加即得x^y+y^x＞1