Question

问一道高一数学题、

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设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a,b属于P，都有a+b,a-b,ab,a/b属于P（除数b不等于0），则P为一个数域，例如有理数集Q为数域。问数域必为无限集是否为正确命题。
我看网上有人说是因为c+c,c+(c+c),c+(c+(c+c))......即n*c是数域中的数，无穷，故正确。
但我还是不太明白，能讲清楚点儿么？谢谢！！

Answer 1

我没看网上怎么说的 ，我只说说我的看法：
数域是限集合显然是正确的命题，假设数集含有a，b（a b 不相等）不妨设a不等于0，且属于数域
根据题意我们知道a-a=0 ，0属于改集合 a/a=1,1该集合（这个和证明是为无限集没关系，只是两个基本性质）。
我们知道a+a=2a属于数集，a+2a=3a属于数集，以此类推我们知道n*a属于改数集，n属于整数，整数无限，自然该数集也是无限。数域是无限时很明显的几乎不需要证明

Answer 2

那个网上的说法好像不严谨，因为P中不可能含有两个元素c
貌似“若对任意a,b属于P，都有a+b,a-b,ab,a/b属于P（除数b不等于0），则P为一个数域”这句话有点不对，比如：P=｛-1,0,1｝,对任意a,b属于P，也有a+b,a-b,ab,a/b属于P，但P不是数域，更不是什么无限集
当然，“数域必为无限集”是正确的，没什么证明意义

Answer 3

其实就是说，你任给a，b属于一个数域M，那么a+b就是数域的数，a+a+b也是数域的数......那么n*a+b也是数域中的数 这个数是无穷的吧？ 也可以认为a和b相等，就是你说的那种情况了