Question

函数f(x)=x^2+2x+a/x.x∈[1,+∞] （1）当a=1/2时求函数f(x)的最小值

（2）若对任意x∈[1,+∞]，f(x)>0成立，求实数a的取值范围

x^2+2x+a整个除以x。要过程

Answer 1

1)f(x)=x^2+2x+a/x=x+a/x+2当a=1/2时为双钩函数f(x)=x+1/(2x)+2>=3当x=squr（1/2）则
[1,+∞]f（x）∈[7/2,+∞)
2）a>0时用双钩函数易得成立 a=0时也成立
a<0f(x)=x^2+2x+a/x=x+a/x+2的导数为F=1-ax^(-2)>0即为增函数，在x∈[1,+∞]，上f(1)=1+a+2>0即a>-3,
所以a∈[-3,+∞]

Answer 2

解： （1）当a＝1/2时 x∈[1,+∞]
∴f(x)=(x^2+2x+1/2)/x=x+1/2x+2
∴对f(x)求导得： f'(x)=1-1/(4x^2)
∵x∈[1,+∞] ∴1/(4x^2)＜1 ∴f'(x)=1-1/(4x^2)＞0恒成立
∴f(x)在x∈[1,+∞] 上为增函数 ， ∴x＝1时 f(x)取得最小值为：
f（x）min＝7/2
（2）∵f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x+2
对任意x∈[1,+∞]，f(x)>0恒成立 即 x+a/x+2＞0
∵x∈[1,+∞] ∴对不等式 x+a/x+2＞0进行移项变形得：
a＞-x^2-2x
令 : g（x）=-x^2-2x , x∈[1,+∞]
∴g（x）=-x^2-2x =-(x+1)^2+1
∴g(x)在 x∈[1,+∞] 上为减函数 ∴g(x)最大值为：
g（x）max=g(1)=-3
∴a＞(-x^2-2x)max=g(x)max=-3
∴a的取值范围为： a＞-3

若有不懂可再问我。