Question

又一个三角函数

在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC
(1)求A的大小 （2）求sinB+sinC的最大值。

Answer 1

(1)2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
2a2=2b2+bc+2c2+bc
即(b2+c2-a2)/2bc=-1/2
cosA=-1/2
A=120°

(2)
假设外接圆半径r
sinA=a/(2r),sinB=b/(2r),sinC=c/(2r)
2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
转换：b^2+c^2+bc-a^2=0
(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/2=cosA
A=120，B+C=60
sinB+sinC
=2sin[(C+B)/2]*cos[(C-B)/2]
=cos[(C-B)/2]
<=1
当B-C=0，B=C=60/2=30等号成立
sinB+sinC的最大值 1