y′′-2y′+5y=cos2x求通解
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求微分方程 y′′-2y′+5y=cos2x 的通解
解：齐次方程 y''-2y'+5y=0的特征方程 r²-2r+5=0的根：r₁=1+2i；r₂=1-2i;
故齐次方程的通解为：y=(e^x)(C₁cos2x+C₂sin2x)
设原方程的特解 y*=acos2x+bsin2x..........①
y*'=-2asin2x+2bcos2x..............②
y*''=-4acos2x-4bsin2x...............③
将①②③代入原式得：
-4acos2x-4bsin2x-2(-2asin2x+2bcos2x)+5(acos2x+bsin2x)=cos2x
化简得 (a-4b)cos2x+(4a+b)sin2x=cos2x
故a-4b=1..........④； 4a+b=0...........⑤
④⑤联立求解，得 a=1/17，b=-4/17. 故y*=(1/17)cos2x-(4/17)sin2x.
于是得原方程的通解为：y=(e^x)(C₁cos2x+C₂sin2x)+(1/17)cos2x-(4/17)sin2x.
即 y=(C₁e^x+1/17)cos2x+(C₂e^x-4/17)sin2x.
解：齐次方程 y''-2y'+5y=0的特征方程 r²-2r+5=0的根：r₁=1+2i；r₂=1-2i;
故齐次方程的通解为：y=(e^x)(C₁cos2x+C₂sin2x)
设原方程的特解 y*=acos2x+bsin2x..........①
y*'=-2asin2x+2bcos2x..............②
y*''=-4acos2x-4bsin2x...............③
将①②③代入原式得：
-4acos2x-4bsin2x-2(-2asin2x+2bcos2x)+5(acos2x+bsin2x)=cos2x
化简得 (a-4b)cos2x+(4a+b)sin2x=cos2x
故a-4b=1..........④； 4a+b=0...........⑤
④⑤联立求解，得 a=1/17，b=-4/17. 故y*=(1/17)cos2x-(4/17)sin2x.
于是得原方程的通解为：y=(e^x)(C₁cos2x+C₂sin2x)+(1/17)cos2x-(4/17)sin2x.
即 y=(C₁e^x+1/17)cos2x+(C₂e^x-4/17)sin2x.
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