Question

设数列（An）的前n项和为Sn=2n^2，（Bn） 为等比数列，且A1=B1,B2(A2-A1)=B1.

设数列（An）的前n项和为Sn=2n^2，（Bn） 为等比数列，且A1=B1,B2(A2-A1)=B1.(1)求数列（An）和（Bn）的通项公式 ；(2)设Cn=An/Bn,求数列(Cn)的前n项和Tn

Answer 1

解：
(1)当n=1时，A1=S1=2*1^2=2；
当n>1时：
Sn=2*n^2
S(n-1)=2*(n-1)^2=2(n^2-2n+1)=2*n^2-4n+2
所以An=Sn-S(n-1)=(2*n^2)-(2*n^2-4n+2)=4n-2.
而A1=2=4*1-2，符合通式，所以数列{An}的通项公式是4n-2=2(2n-1).
所以B1=A1=2，A2=4*2-2=6
因为B2(A2-A1)=B1，所以B2*(6-2)=2，则B2=1/2.
因为数列{Bn}是等比数列
所以q=B2/B1=(1/2)/2=1/4
所以Bn=B1*q^(n-1)=2*(1/4)^(n-1).
(2)Cn=An/Bn=[2(2n-1)]/[2*(1/4)^(n-1)]=(2n-1)*4^(n-1)
所以Tn=1*4^0+3*4^1+5*4^2+……+(2n-1)*4^(n-1)
4Tn= 1*4^1+3*4^2+……+(2n-3)*4^(n-1)+(2n-1)*4^n
两式相减，得：
-3Tn=1+2[4^1+4^2+4^3+……+4^(n-1)]-(2n-1)*4^n
=1+2*4[1-4^(n-1)]/(1-4)-(2n-1)*4^n
=1+(2/3)*(4^n-4)-(2n-1)*4^n
=1+(2/3)*4^n-8/3+(1-2n)*4^n
=-(2n-5/3)*4^n-5/3
所以Tn=(2n/3-5/9)*4^n+5/9.

Answer 2

(1)因为Sn=2n^2
所以An=Sn-Sn-1 （n>=2)
=4n-2
所以An+1=4n+2
当n=1时,S1=2,符合An=4n-2
所以（An）的通项公式:An=4n-2,公差为4.

因为A1=B1,B2(A2-A1)=B1,
所以 2*q*4=2,q=1/4
所以（Bn）的通项公式:Bn=2*(1/4)^(n-1)=2^(3-2n)

(2)Cn=An/Bn
=(2n-1)*4^(n-1)
Tn=1*4^0+3*4^1+5*4^2+...+(2n-1)*4^(n-1) ①
4Tn= 1*4^1+3*4^2+...+(2n-3)*4^(n-1)+(2n-1)*4^n ②
①-②,-3Tn=1*4^0+2(4^1+4^2+...+4*(n-1))-(2n-1)*4^n
-3Tn=(2^(2n+1)-5)/3-(2n-1)*4^n
Tn=-(2^(2n+1)-5)/9+(2n-1)*4^n/3