Question

两道高中数学题....急 在线等

已知曲线方程为 x^2/2 - y^2/2 = 1 (x>0),A B为曲线上不同的两点,O为原点,求 向量OA*向量OB 的最小值.

F为抛物线x^2=4y的焦点,A B为异于原点的两点,且满足 向量FA*向量FB=0,延长AF BF交抛物线于C D,求四边形ABCD面积最小值

简单讲下过程,谢谢 感激不尽

Answer 1

1、向量OA*向量OB =2|OA|*|OB|COS夹角，夹角0度到180度，当夹角为180度时，最小，

2、FA与FB夹角为0度
四边形的对角线相互垂直，所以，四边形的面积就是对角线乘积的一半（拆成两个三角形）
F坐标为（0，1）由于直线与抛物线相交
设直线AC方程为y=kx+1,A(X1,Y1)C(X2,Y2)则直线BD的方程可以设为y=-1/k *x +1
联立
x^2=4y
y=kx+1，消去y得
x^2-4kx-4=0
△=16k^2+16>0
由韦达定理，得
X1+X2=4k,X1X2=-4
AC=√(1+k^2) *｜X1-X2｜,
AC^2==(1+k^2) *｜X1-X2｜^2
因为(X1-X2)^2=(X1+X2)^2-4X1X2=16k^2+16
AC^2=16(k^2+1)^2

以-1/k代替k,得到
BD^2=16(1/k^2 +1)^2
S四边形^2=1/4*16(k^2+1)^2*16(1/k^2+ 1)^2
=64(k^2+1)^2*(1/k^2 +1)^2
S=8(k^2+1)(1/k^2+1)=8(2+k^2+1/k^2）
k^2+1/k^2>=2
所以，S>=8*4=32