Question

【博弈论】关于下面支付矩阵的混合策略纳什均衡？ 2,1 3,-1 对手的策略

【博弈论】关于下面支付矩阵的混合策略纳什均衡？
2,1
3,-1
对手的策略不随我变化故未列出它的支付矩阵，
假设对手向左概率为p，我选上的概率为q。
计算的结果是q=4/3，这已经大于1了，不知为何呢？
如果
2,1 1,2
3,2 -1,1
是这样，那么我在对手选左时的期望收益：2q+3(1-q)=3-q；
对手选右时我的期望收益:q-(1-q)=2q-1；
我的最优策略是对手选左选右我的期望收益不变，所以
3-q=2q-1，q=4/3，这就奇怪了；
而很容易求得对手的p=1/2，这是怎么回事呢？难道这个算法不对？

Answer 1

在计算混合策略时，自己选上的概率p应当使得对手选择两种策略所得的期望收益相同。你不能用自己的支付矩阵来计算对方的期望收益，应当写出对方的支付矩阵，再找p。

追问

我采用的是计算我的收益期望对pq的表达式，然后对对手的q求偏导。更一般地，如果我的支付矩阵是
a,b
c,d
用混合策略纳什均衡的一般算法可知，
p=(c-d)/(a-b-c+d)
这样的话分子很容易大过分母啊，比如那个战争博弈也是这样。难道博弈的条件也很关键？

追答

你仔细看一下公式应用的条件，一定要用对手的支付矩阵计算，不能用自己的支付计算计算。

追问

不是说在对手左和右时我的收益期望相等么？这时候等式里面压根没有p啊，而且我只关心我的策略q

追答

p应当使得对手选择左和右时对手的期望收益相同。

是q

追问

对啊所以我只关心q，计算对手选左时我的期望收益和对手选右时我的期望收益相等，此时q=4/3，大于1了，何解呢？q应该跟对手的支付矩阵无关啊

追答

你仔细看一下我说的话，是计算对手的期望收益，不是自己的期望收益。