Question

洛必达法则问题

求x^n*lnx (x趋向于0+) 不要转化为无穷/无穷型
一定要用的话就先证明

Answer 1

关于无穷型的证明，书上没有，但是可以简单0/0型推导出来。
设无穷型f(x)/g(x),也就是说x趋于a，f(x),g(x)都趋于无穷大。
那相应0/0类型则为
f(x)/g(x)=(1/g(x))/(1/f(x)),等式右面就是00型，对右面用法则
=[g'(x)/g^2 (x)]/[f'(x)/f^2 (x)] 这个式子明白吧，格式问题比较抽象
简化后就是=[g'(x)/f'(x)]*[f(x)/g(x)]^2 在和等式右面约去化简
最后f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x)
得证
也可以用中值定理证明，挺麻烦的

Answer 2

这是个常见的极限，我有办法，不过楼主应该说明n>0.

看图（点击可放大）：

Answer 3

limx^nlnx=lim(lnx/(1/x)^n)=-lim((1/x)/n(1/x)^(n-3))=lim(1/n)x^(n-3)=0(n趋于0+)。这个过程完全就用的是洛必达法则，因为它满足洛必达法则的条件，不需要再证明其他什么东西了。