Question

求解一道数列题

已知数列 an=n*π*e^(nπ)
求Sn

注：左式an中n是下标，右式中*是乘号，π是圆周率pai,e^(nπ)表示e的nπ次方。Sn表示前n项之和。

好像是天津某年高考题。
求高手详解。

Answer 1

只看n*e^(πn)的和
最后再乘π即可

x=Sn/π=1*e^π+2*e^2π+3*e^3π+……+n*e^(nπ)
则e^π*x=1*e^2π+2*e^3π+……+(n-1)*e^nπ)+n*e^(nπ+π)
相减
x-e^π*x=1*e^π+1*e^2π+1*e^3π+……+1*e^(nπ)-n*e^(nπ+π)
右边除了最后一项，其他是等比数列的和
(1-e^π)*x=1*e^π*(1-e^nπ)/(1-e^π)-n*e^(nπ+π)
x=e^π*(1-e^nπ)/(1-e^π)²-n*e^(nπ+π)/(1-e^π)
所以Sn=πx=πe^π*(1-e^nπ)/(1-e^π)²-πn*e^(nπ+π)/(1-e^π)

Answer 2

这就是等差乘等比形式的数列，只是用到了π和e，所以形式显得复杂一些，解法还是一样的，不要被形式吓到啊，自己计算一下吧。

Answer 3

这其实是等差×等比
sn=pai*e^pai+2pai*e^2pai+……+n*π*e^(nπ)
e^pai*sn=pai*e^2pai+2pai*e^3pai+……n*pai*e^(npai+pai)
再相减就可以用等比数例求和公式了

Answer 4

我们令bn=an/π,m=e的π次方，Tn为数列{bn}的前n项和，则Tn=m+2*m的二次方+。。。。。。+n*m的n次方，对这个数列求和，可用错项相消法求和.
m*Tn-Tn=n*m的(n+1)次方-（m+m的二次方+。。。。。+m的n次方），对于后面括号中的内容，可用等比数列求和法，具体不再写出，这里只给答案，求出Tn的和后，只要*π即可得到答案。
不难得出Sn=π*【（n*m的n+1次方）/(m-1)-(m的n+1次方-m)/(m-1)的二次方】，将该式中的m用e的π次方代入即得最终答案。（过于繁琐，不再写出，请提问者自己做一下吧）