Question

一道高中不等式

a,b,c不全等于0,求(ab+2bc)/(a^2+b^2+c^2)的最大值
谢谢！

Answer 1

由均值不等式

(ab+2bc)/(a^2+b^2+c^2)

≤[(√5a^2/2+√5b^2/10)+(2√5b^2/5+√5c^2/2)]/(a^2+b^2+c^2)

=√5/2(a^2+b^2+c^2)/(a^2+b^2+c^2)

=√5/2

其中系数由待定系数法算出。

Answer 2

看来我今天专门做不等式啦,,,

因为
ab=<[{根号5}/2]a^2+[1/{2根号5}]b^2

2bc=<[1/{根号5}]b^2+[{根号5}/2]c^2

所以ab+2bc=<[{根号5}/2]（a^2+b^2+c^2)

所以(ab+2bc)/(a^2+b^2+c^2)=<[{根号5}/2]
等号在a=1,b=根号5,c=2时取.

Answer 3

解：(1) 可设t=(ab+2bc)/(a²+b²+c²).===>tb²-(a+2c)b+t(a²+c²)=0.关于b的一元二次方程⊿=（a+2c)²-4t²(a²+c²)≥0.===>(2t)²≤(a+2c)²/(a²+c²).(2)易知，（2a-c)²≥0.===>4a²-4ac+c²≥0.===>5a²+5c²≥a²+4ac+4c².===>5(a²+c²)≥(a+2c)².===>(a+2c)²/(a²+c²)≤5.等号仅当c=2a时取得。故(2t)²≤5.===>2|t|≤√5.===>|t|≤√5/2.===>t≤√5/2,等号仅当c=2a,b=(√5)a时取得。故[(ab+2bc)/(a²+b²+c²)]max=√5/2.