Question

请问这个幂级数的收敛域怎么求出来的？前面那个x怎么处理？请写一下

请问这个幂级数的收敛域怎么求出来的？前面那个x怎么处理？请写一下步骤，谢谢

Answer 1

解：

∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(4n^2-1)/[4(n+1)^2+1)]=1。故其收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)|Un+1/Un丨=(x^2)/R<1，x^2＜R=1。所以，其收敛区间为|x|<1。

国内的微积分教材往往是直接求R = lim{n->oo} |an/an+1|，似乎是一个什么新的内容。但英语教材没有这么做，而是直接根据lim{n->oo} |Tn+1/Tn| < 1 得到收敛半径。注意这里我用T表示term，而非系数。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。

Answer 2

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(4n^2-1)/[4(n+1)^2+1)]=1。故其收敛半径R=1/ρ=1。又，lim(n→∞)|Un+1/Un丨=(x^2)/R<1，x^2＜R=1。所以，其收敛区间为|x|<1。
当x=1、-1时，级数均收敛。故，其收敛域为-1≤x≤1。
题干中的x，被后面展开式中的同类项合并了。
供参考。