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首先，任何一个可逆矩阵都可以写成一系列初等矩阵的乘积。
其次，对矩阵A进行行初等变换，相当于左乘以一和初等矩阵，对A进行列初等变换，相当于右乘以一个初等矩阵。
最后，对可逆矩阵A进行一系列的初等行变换，一定可以把A化为单位矩阵E，即存在矩阵P，使得PA=E。所以对分块矩阵(A,E)进行一系列初等行变换，化A为E，此时对E也进行了同样的初等行变换，所以就相当于对(A,E)左乘以矩阵P，所以P(A,E)＝(PA,P)=(E,P)，P就是A的逆矩阵。
同样地，如果对矩阵
（A）
（E）
只进行初等列变换，化A为E，则E同时变换为A的逆矩阵。
其次，对矩阵A进行行初等变换，相当于左乘以一和初等矩阵，对A进行列初等变换，相当于右乘以一个初等矩阵。
最后，对可逆矩阵A进行一系列的初等行变换，一定可以把A化为单位矩阵E，即存在矩阵P，使得PA=E。所以对分块矩阵(A,E)进行一系列初等行变换，化A为E，此时对E也进行了同样的初等行变换，所以就相当于对(A,E)左乘以矩阵P，所以P(A,E)＝(PA,P)=(E,P)，P就是A的逆矩阵。
同样地，如果对矩阵
（A）
（E）
只进行初等列变换，化A为E，则E同时变换为A的逆矩阵。
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