Question

高中数学排列组合

从三棱柱的顶点（6个）和两底面三角形各边的中点（6个）共12个点中取4个点构成三棱锥，问有多少个三棱锥？
（希望能列出排列组合的式子！）

Answer 1

（排除法）全部=C(12,4)=495.排除在同一平面上的4个点的组合数.除去的是：（1）三棱柱的5个面，每个面均有6个点，5×C(6,4)=5×15=75.(2)上下两个面对应中线的4个端点，计3个。（3）上下两个面对应中位线的4个端点，计3个。（4）每条中位线与对面平行的边上的3个点，6×C(5,4)=30.(5)上下两面的每边上的3个点与对面⊿异面边的交点，计6个。故495-75-3-3-30-6=378.

Answer 2

1. 上3点（三角形），下1点，结果(C(6,3) - 3)*C(6,1) = 17*6
2. 上1点，下3点，结果一样 = 17*6
3. 上2点，下2点，分两种情况
1）上2点连成的线在三角形边上或与三角形边平行，一共3*4=12条
下面能与之组成三棱锥的一共有C(6,3) - 4 = 11条线
(减4是因为有4条与之平行的线)
2) 上2点剩下的C(6,3)-12 = 3条线
下面能与之组成三棱锥的是一共有C(6,3)-1 = 14条
12*11 + 3* 14 = 174
最后结果是174+204 = 378

Answer 3

只说方法，自己动脑算：底面和顶面各6点，分三种情况讨论：1、底面取不共线的三点，顶面取一点＜六取三，减三；然后乘六＞；2、底面取两点，顶面取两点＜六取二乘六取二，减去30＞（排除四点共面的情况）3、底面一点，顶面取不共面线的三点＜同1＞！

Answer 4

C上4下12-3*9
C上4下12是从12个点中取4个点
后面的3*9，是减去了3个点在一条棱上的情况（每条棱有9个其他点可以选择，共有3条棱）

Answer 5

12