Question

已知函数f(x)=ax^2+x/e-lnx(其中a为常数，e为自然对数的底数）

(1)当a=1/2时，判断函数f(x)的单调性并写出其单调区间.
(2)当a>0时，求证f(x)=0没有实数解。

Answer 1

(1)f(x)=ax²+x/e-lnx(x>0)
当a=1/2时
∴ f(x)=(1/2)x²+x/e-lnx
∴f'(x)=x-1/x+1/e
令f'(x)=0 且x>0
∴x=[-1+√(4e²+1)]/2e
∴f(x)在(0,[-1+√(4e²+1)]/2e)单调递减 在（[-1+√(4e²+1)]/2e，+∞）单调递增
（2）f'(x)=2ax-1/x+1/e
当a>0时 通过和（1）相同的算法 可得函数最小值大于0
所以f(x)=0没有实数解