Question

已知函数f(x)=mx^3+nx^2(m,n属于R,m>n且m不等于0）的图像在（2,f(2))处的切线与x轴平行

1）确定m,n的符号
2）若函数y=f(x)在区间[n,m]上有最大值为m-n^2,试求m的值

Answer 1

f'(x)=3mx^2+2nx
因为在x=2处与x轴平行的切线，则此处有驻点
即f'(2)=0=12m+4n，所以3m+n=0
因为m>n，且m≠0
所以m为正，n为负

2）f(x)=x^2(mx+n),与x轴的交点x=0或x=-n/m
又知3m+n=0，所以x=-n/m=3，即两交点的坐标是（0，0）、（3，0）
所以原函数有两个驻点，一个是（0，0），另一个是（2，f（2））
又知n<0,所以原函数的最大值在（0，m]之间取
1、当0<m<=3，最大值是0，又知最大值为m-n^2，
所以m-n^2=0，所以m=n^2，与3m+n=组合，解得m=1/9（m=0不取），此时n=-1/3

2、当m>3时，最大值在x=m处取得，所以
m*m^3+n*m^2=m-n^2,与3m+n=0组合方程，可以判断出只有一个m<1的根，即满足条件的m无解

所以m的值为1/9