Question

设函数f x =x/(x^2-1)

设函数f x =x/(x^2-1)
1 求证 f （x）在（-1,1）上为减函数。
2 求f（x）在区间（-1/2,1/2）上的值域

Answer 1

设-1<x1<x2<1
得f(x1)-f(x2)=x1/(x1^2-1)-x2/(x2^2-1)
=[(x1x2+1)(x2-x1)]/[(x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1)]
因为-1<x1<x2<1
所以(x1x2+1)>0
(x2-x1)>0
(x1+1)>0
(x1-1)<0
(x2+1)>0
(x2-1)<0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在(-1,1)上为减函数。

因为在(-1,1)上是递减函数，所以在(-1,1)的子区间(-1/2,1/2)上的值域是：
(f(1/2),f(-1/2))即(-2/3,2/3)