Question

高数二求极限和导数

1.设4/(1-X∧2)*f(x)=d[f(x)]∧2,且f(0)=0,求f(x)
2.lim[ln(1+x+x∧2)+ln(1-x+x∧2)]/xsinx
x→0
需要详细步骤和说明，谢谢

Answer 1

解：1。∵4f(x)/(1-x²)=d[f²(x)]
==>4f(x)/(1-x²)=2f(x)d[f(x)]
==>f(x){d[f(x)]-2/(1-x²)}=0
∴d[f(x)]-2/(1-x²)=0，或f(x)=0
（1）当d[f(x)]-2/(1-x²)=0时，
有d[f(x)]=2/(1-x²)
==>f(x)=∫2dx/(1-x²)
=∫[1/(1+x)+1/(1-x)]dx
=ln│1+x│+ln│1-x│+C (C是积分常数)
=ln│(1+x)/(1-x)│+C
∵f(0)=0 ==>C=0
∴f(x)=ln│(1+x)/(1-x)│
（2）显然f(x)=0是满足条件f(0)=0的解
综合（1）（2）知，f(x)=ln│(1+x)/(1-x)│，或f(x)=0
2。∵[ln(1+x+x²)+ln(1-x+x²)]/(xsinx)
=ln[(1+x+x²)(1-x+x²)]/(xsinx)
=ln(1+x²+x^4)/(xsinx)
=(x/sinx)*[ln(1+x²+x^4)/x²]
又lim(x->0)(x/sinx)=1/[lim(x->0)(sinx/x)]
=1 (∵lim(x->0)(sinx/x)=1)
lim(x->0)[ln(1+x²+x^4)/x²]
=lim(x->0)ln[(1+x²+x^4)^(1/x²)]
=ln{lim(x->0)[((1+x²+x^4)^(1/(x²+x^4)))(1+x²)]
=ln{lim(x->0)[e^(1+x²)]} (应用重要极限lim(x->0)[(1+x)^(1/x)]=e)
=lne
=1
∴原式=lim(x->0)(x/sinx)*lim(x->0)[ln(1+x²+x^4)/x²]
=1*1
=1

Answer 2

1.
右边 d[f(x)]∧2=2 f(x) df(x)
所以
4/(1-X∧2)*f(x)=2 f(x) df(x)

2/(1-X∧2)=df(x)
f(x)=积分（从0到x） dt 2/(1-t∧2)=2 arctan x

2.lim[ln(1+x+x∧2)+ln(1-x+x∧2)]/xsinx
罗毕达法则，分子分母同时求导
分子求导=(2 (x + 2 x^3))/(1 + x^2 + x^4)
在x接近0时分子约等于 2 x

分母求导=x cos x + sin x
在x接近0时分母约等于 x+x=2x (cos x~1 sin x~x)

所以极限等于 （2x）/（2x）=1