线性代数 如图
|λI-A|
=
λ-2 0 0
0 λ-3 -2
0 -2 λ-3
= (λ-1)(λ-2)(λ-5)
= 0
解得λ = 1，2，5
将特征值1代入特征方程(λI-A)x=0
-1 0 0
0 -2 -2
0 -2 -2
第3行, 减去第2行×1
-1 0 0
0 -2 -2
0 0 0
第2行, 提取公因子-2
-1 0 0
0 1 1
0 0 0
第1行, 提取公因子-1
1 0 0
0 1 1
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
第2行, 加上第3行×-1
1 0 0 0
0 1 0 -1
0 0 1 1
得到属于特征值1的特征向量
(0,-1,1)T
将特征值2代入特征方程(λI-A)x=0
0 0 0
0 -1 -2
0 -2 -1
第1行交换第3行
0 -2 -1
0 -1 -2
0 0 0
第2行, 减去第1行×12
0 -2 -1
0 0 -32
0 0 0
第2行, 提取公因子(-32)
0 -2 -1
0 0 1
0 0 0
第1行, 提取公因子-2
0 1 12
0 0 1
0 0 0
第1行, 加上第2行×(-12)
0 1 0
0 0 1
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
得到属于特征值2的特征向量
(1,0,0)T
将特征值5代入特征方程(λI-A)x=0
3 0 0
0 2 -2
0 -2 2
第3行, 减去第2行×-1
3 0 0
0 2 -2
0 0 0
第2行, 提取公因子2
3 0 0
0 1 -1
0 0 0
第1行, 提取公因子3
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 1
第2行, 加上第3行×1
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 1
得到属于特征值5的特征向量
(0,1,1)T 得到特征向量矩阵P =
0 1 0
-1 0 1
1 0 1
并且有P-1AP = Λ = diag(1,2,5)
由于矩阵A是实对称矩阵，因此属于不同特征值的特征向量是正交的
单位化，得到正交矩阵Q =
0 1 0
-1√2 0 1√2
1√2 0 1√2
并且有Q-1AQ = Λ = diag(1,2,5)
所求正交变换是X=QY，Y=QTX，且有
XTAX=(QY)TAQY=YTQTAQY=YTdiag(1,2,5)Y
y1=-1√2x2+1√2x3
y2=x1
y3=1√2x2+1√2x3
