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证明：
令f(x)=x-x²/2-ln(1+x) (x>0)
则f '(x)=1-x-1/(1+x)
=[(1-x)(1+x)-1]/(1+x)
=(1-x²-1)/(1+x)
=-x²/(1+x)
∵x>0，
∴-x²/(1+x)<0，即f '(x)<0，
∴f(x)在x>0上是减函数，
故f(x)＜f(0)=0-0²-ln(1+0)=0，
即x-x²/2-ln(1+x)<0，
∴x-x²/2<ln(1+x)
证毕。
令f(x)=x-x²/2-ln(1+x) (x>0)
则f '(x)=1-x-1/(1+x)
=[(1-x)(1+x)-1]/(1+x)
=(1-x²-1)/(1+x)
=-x²/(1+x)
∵x>0，
∴-x²/(1+x)<0，即f '(x)<0，
∴f(x)在x>0上是减函数，
故f(x)＜f(0)=0-0²-ln(1+0)=0，
即x-x²/2-ln(1+x)<0，
∴x-x²/2<ln(1+x)
证毕。
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令f(x)=x-x^2/2-ln(x+1)
求导f'(x)=1-x-1/(x+1)=-x^2/(x+1)<0恒成立
f(x)单调递减，f(x)<f(0)=0
即x-x^2/2<ln(x+1)
求导f'(x)=1-x-1/(x+1)=-x^2/(x+1)<0恒成立
f(x)单调递减，f(x)<f(0)=0
即x-x^2/2<ln(x+1)
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