Question

已知：a＞0，b＞0，ab+（a+b）=1

求（1）a+b的最小值，（2）ab的最大值

Answer 1

a＞0，b＞0
ab≤(a+b)²/4
1=ab+（a+b）≤（a+b）²/4+（a+b）=（a+b）²/4+（a+b）+1-1
=[（a+b）/2+1]²-1
所以[（a+b）/2+1]²-1≥1
[（a+b）/2+1]²≥2

a＞0，b＞0，（a+b）/2+1≥根号2
a+b≥2根号2-2

a+b≥2根号ab
1=ab+（a+b）≥2根号ab+ab=（根号ab+1）²-1

（根号ab+1）²-1≤1
a＞0，b＞0
根号ab+1≤根号2
根号ab≤根号2-1
ab≤3-2根号2

Answer 2

ab+（a+b）=1
ab+a+b+1=2
a(b+1)+b+1=2
(a+1)(b+1)=2
当(a+1)=(b+1)=√2时,
即a=b=√2-1时,
a+b取到最小值=2(√2-1)

ab+（a+b）=1
ab=1-(a+b)
当a+b取到最小值时,
ab取到最小值=1-(a+b)=1-2(√2-1)=3-2√2

Answer 3

a＞0，b＞0，有a+b≥2√ab ，当且仅当a=b时等号成立
由题意得：a=b时有a+b最小，ab最大.
∵ab+（a+b）=1
∴a²+2a=1
解得a=-1±√2(a>0,-√2-1舍去）
所以a=-1+√2代入a+b,ab
即得a+b的最小值为-2+2√2
ab的最大值为3-2√2

Answer 4

该题要用到基本不等式：a>0,b>0时，有a+b≥2√ab ，当且仅当a=b时等号成立
由题意得：a=b时有a+b最小，ab最大.
∵ab+（a+b）=1
∴a²+2a=1
解得a=-1±√2(a>0,-√2-1舍去）
所以a=-1+√2代入a+b,ab
即得a+b的最小值为-2+2√2
ab的最大值为3-2√2