Question

如图ABC中AB=ACE为CA延长线上一点ED垂直于BC于D交AB于F求证AEF为等腰三角形

Answer 1

分析：因为此题没有任何线索可以直接用，所以便想到“等角对等边”这一判定。则要证明∠AEF=∠AFE。但是凭空证不出，只能设。
法一：证明：设∠BAC=α。
在△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C=1/2（180°-α）=90°-（α/2）
∵ED⊥BC
∴∠EDB=90°
∴∠BFD=90°-∠B=90°-（90°-（α/2））=α/2
∵∠BFD和∠EFA是对顶角
∴∠BFD=∠EFA=α/2
∵∠A=α
∴∠EAF=180°-α
∴∠FEA=180°-（180°-α）-α/2=α/2
∵∠EFA=α/2
∴∠EFA=∠FEA
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形。
法二：证明：
∵ED⊥BC
∴∠B+∠BFD=90°
∠C+∠AEF=90°
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠BFD=∠AEF
∵∠BFD=∠AFE
∴∠AFE=∠AEF
∴AF=AE
∴△AFE是等腰三角形。

Answer 2

证明：
∵ED⊥BC
∴∠B+∠BFD=90°
∠C+∠E=90°
又AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠BFD=∠E
又∠BFD=∠AFE
∴∠AFE=∠E
∴AF=AE
得正