Question

方程x^2 -mx+1=0的两根为α，β，且α＞0，1＜β＜2，则实数m的取值范围

Answer 1

方程是开口向上的二次方程
有2根，则△≥0即m^2-4≥0 m≥2或m≤-2
α＞0 要分5种情况讨论0＜α＜1 α=1 1＜α＜2 α=2 α＞2
令f(X)=X^2-mX+1
当0＜α＜1时 解不等式组f(1)＜0 ；f(0)＞0 ；f(2)＞0 得到1＜m＜5/2 因为m≥2或m≤-2 所以2＜m＜5/2
当α=1时 代入f(X)=X^2-mX+1 得到m=2 另一个根为1 不符合1＜β＜2 舍去即m≠2
当1＜α＜2时 解不等式组f(1)>0;f(2)>0 得m<1 因为m≥2或m≤-2 所以m≤-2
当α=2时 代入f(X)=X^2-mX+1 得到m=5/2
当α＞2时 解不等式组f(1)>0 ;f(2)<0 得到 无解
因此综上所述 实数m的取值范围2＜m≤5/2或m≤-2

Answer 2

不用这么麻烦，我有更简单的方法。
将两根带入方程后，得
α+1/α=m;
β+1/β=m
因为 α＞0，1＜β＜2
所以 由对构函数图象直接得答案