Question

高中不等式的题

设0<x<π/2,a、b是常数，则函数y=a²/sin²x+b²/cos²x的最小值是？

我是这么做的，不知哪里错了，和答案不一样。
y》2平方根（a²b²/sin²x.cos²x)
sin²x.cos²x=(sinx.cosx)²《 1/4
结果得，4ab

Answer 1

柯西不等式(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc
y=(a²/sin²x+b²/cos²x)*(sin²x+cos²x)》=(a+b)²

Answer 2

楼主犯了不等式最易错的取定值。
第一次与第二次取等号条件不同。
如下解法是正确的
y=a^2/(sinx)^2+b^2/(cosx)^2
=[a^2/(sinx)^2+b^2/(cosx)^2]((sinx)^2+(cosx)^2)
=a^2+(acosx/sinx)^2+(bsinx/cosx)^2+b^2
≥a^2+b^2+2ab
=(a+b)^2

Answer 3

【注：（1）a²+b²≥2ab,===>a²+2ab+b²≥4ab.===>(a+b)²≥4ab,等号仅当a=b时取得。（2）还要用柯西不等式】解：y=(sin²x+cos²x)×[(a²/sin²x)+(b²/cos²x)]≥(a+b)²≥4ab.===>y≥4ab.等号仅当a=b,x=π/4时取得。故ymin=4ab.