Question

一道高中数列题目

已知数列an的通项公式为an=n/(n+a) (n,a属于正整数）
（1）若a1，a3，a13成等比数列，求a的值
（2）是否存在a，k（k》3，且k为正整数）使得a1，a2，ak成等差数列？若存在。求出常数a的值，若不存在，请说明理由
（3）求证：数列中任意一项an总可以表示成数列中其他两项之积。

Answer 1

(1)若a1，a3，a13成等比数列，则
(a3)^2=a1*a13即
(3/a+3)^2=(1/a+1)*(13/a+13)
化简得：4a*(a-12)/[(3+a)^2*(a+1)*(a+13)]=0
a=0或a=12,因为n,a属于正整数
所以a=12
(2)假设存在a，k（k》3，且k为正整数）使得a1，a2，ak成等差数列，则
2*a2=a1+ak即
2*（2/a+2）=(1/a+1)+(k/a+k)
化简得：a*[a(k-3)-2]/[(a+1)(a+2)(a+k)]=0
a=0或a=2/(k-3),又因为n,a属于正整数，k>3，且k为正整数
即a只可以取正整数，k只能取大于3的正整数，如4、5、6.......
所以k=5,a=1
(3)若数列中任意一项an总可以表示成数列中其他两项之积，
假设其他两项为as,at(s、t为任意正整数):
则an=as*at，即n/(n+a)=[s/(s+a)]*[t/(t+a)]
化简得na[a-(st-s-t)]/[(n+a)(s+a)(t+a)]
a=0或a=st-(s+t)
又因为s、t为任意正整数，
所以有st-(s+t)的值为任意正整数；
所以该命题是成立的，
即数列中任意一项an总可以表示成数列中其他两项之积
（注：建议你第三问用数学归纳法的格式书写，考试时可以不扣分，只一味的证明在正式的大考中会扣小分的，数学归纳法在推论式的证明中是公认的规范书写格式）

Answer 2

(1)

(1/(1+a))*(13/(13+a))=(3/(3+a))^2

化简a^2-12a=0

a是正整数

a=12

(2)
a1=1/(a+1)
a2=2/(a+2)
ak
=4(a+1)/(a^2+4a+4)
=n/(n+a)

化简((n-4)a-4)a=0
a=4/(n-4)

解为n=5,a=4
n=6,a=2
n=8,a=1

应该都满足的吧。。

(3)

an
=n/(n+a)
=2n/(2n+2a)
=2n/(2n+a)*(2n+a)/(2n+2a)
=a2n*a(2n+12)

证毕