Question

怎么判断一个数列是否有极限?

Answer 1

1. 概念法：存在一个正数ε，当n>N时，|an-M| < ε恒成立 。

2. 定理法：单调且有界数列必存在极限；夹逼准则；数学归纳法。

3. 函数法：将数列的通项公式构成成函数，利用对函数求极限来判定数列的极限，要和夹逼准则或者概念法一起使用 。
   
   

极限的具体定义如下：

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

性质

1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；

2. 有界性：如果一个数列{Xn}收敛（有极限），那么这个数列{Xn}一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，……

3. 和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{Xn}，{Yn}都收敛，那么数列{Xn+Yn}也收敛，而且它的极限等于{Xn}的极限和{Yn}的极限的和。