Question

求一道初二数学几何题的解

如下图，求第二问的解，想了半个月了，也没做出来
三角形PBC肯定是等边三角形，只有是等边三角形的时候，角PAB=角PDC=15°
第二问似乎不用证是等边三角形，把图1和图2叠加到一起，证两个三角形全等，就可以说明没有发生变化

Answer 1

（1）①证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°
∵∠PAB=∠PDC=15°
∴∠PAD=∠BAD-∠PAB=75°
∠PDA=∠CDA-∠PDC=75°
∴∠PAD=∠PDA
∴PA=PD
∴△PBA≌△PCD（SAS）
∴∠PBA=∠PCD
②△PBC是等边三角形
（2）以AD为边向正方形外作正三角形ADF，连接PF
∵∠PAB=∠PDC=75°
∴∠PAD=∠PDA=15°
∵∠PDA＝15°，∠ADC＝90°，∠ADF＝60°
∴∠CDP＝∠FDP＝75°
同理∠PAF＝75°
∵DC＝DA，DA＝DF
∴CP＝PF
又∵DP＝DP
∴△DCP≌△DFP（SAS）
∴CP＝PF
∵DF＝AF，∠PDF＝∠PAF，PF＝PF
∴△DFP≌△AFP
∴∠DFP＝∠AFP＝30°
∴∠FPD＝75°
∴∠FDP＝∠FPD＝75°
∴PF＝DF
∴CP＝DC
同理BP＝AB
∵DC＝BC＝AB
∴CP＝BP＝BC
∴△PBC是等边三角形

Answer 2

第1题第1问
因为四边形ABCD是正方形，而且角PAB=角PDC=15°
所以角PAD=角PDA
所以三角形PAD是等腰三角形
所以PA=PD
因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=CD
所以AB=CD,角PAB=角PDC=15°,PA=PD,
所以三角形ABP与三角形DCP是全等三角形，
得出角PBA=角PCD
第1题第2问 是等腰三角形
第2题，三角形是等腰三角形

Answer 3

(1)
∵∠PAB=∠PDC
∴∠PAD=∠PDA
∴PA=PD
∴△PAB≌△PDC(SAS)
∴∠PBA=∠PCD

正三角形

(2)
不变
∠PAD=∠PDA=15°

∠APD=150°

由正弦定理

AB/AP
=AD/AP
=sin∠ADP/sin∠APD
=1/(2sin15°)

又AB/AP
=sin∠ABP/sin∠APB
=sin∠ABP/sin(105-∠ABP) ∠ABP∈(0,90°)

故上式单调增，
即sin∠ABP/sin(105-∠ABP)=1/(2sin15°)只有一个解

观察知∠ABP=30°满足上式
此即为唯一解。

那么∠PBC=60°

同理∠PCB=60°

∴△PBC为正三角形

Answer 4

1
∵∠PAB=∠PDC
∴∠PAD=∠PDA
∴PA=PD
∴△PAB≌△PDC(SAS)
∴∠PBA=∠PCD
2. 等边三角形
3.