Question

2道高中数学题

1。已知一扇形的周长为c（c>0），当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？
2。当1小于等于x^2+y^2小于等于2时，求x^2-xy+y^2的最大值和最小值。（小于等于是符号，我不会打而已）

解答完整，一步一步解。扇形公式我不记得了，说清楚谢谢。
答好了就给分

Answer 1

(1)
设半径为r,r<c/2

弧长就是c-2r

补全圆，那么周长是2πr

弧长占了周长的(c-2r)/(2πr)

圆心角也占了同样 的比例

故圆心角为(c-2r)/(2πr)*2π=(c-2r)/r

扇形面积公式为
S=1/2*r*r*α α为圆心角
∴S=(c-2r)r/2
=(-2r^2+cr)/2

开口向下，故在对称轴r=c/4处取最大值

即圆心角α=(c-2r)/r=2时

取得最大值c^2/16

(2)

1≤x^2+y^2≤2

换为参数x=rcosa,y=rsina

1≤r≤2

x^2-xy+y^2
=r^2((sina)^2-sinacosa+(cosa)^2)
=r^2(1-sinacosa)
=r^2(1-sin2a/2)
故最大值为rmax^2*3/2=6

最小值为rmin^2*1/2=1/2

Answer 2

1.设它的角度为a,半径为r
则ar+2r=c
→r=c/(a+2)
而S=0.5ar^2
=0.5ac^2/(a^2+4a+4)
=0.5c^2/[a+(4/a)+4]
≤0.5c^2/[(2√4)+4]
=(c^2)/16
故当a=(4/a)，即a的弧度为2时，面积取最大。

2.令x=ksina
y=kcosa
则x^2+y^2=k^2∈[1,2]
而x^2-xy+y^2=k^2(1-sinacosa)
而2sinacosa≤(sina)^2+(cosa)^2=1
→sinacosa≤1/2
由f(a)=sinacosa为奇函数
sinacosa∈[-1/2,1/2]
∴0.5≤0.5k^2≤x^2-xy+y^2=k^2(1-sinxcosa)≤1.5k^2≤3
故x^2-xy+y^2∈[0.5,3]