Question

一道关于无穷小量的高数题目

题目在图片。这是无穷小还是无穷大，为什么？
不好意思，漏了条件：x趋向0

Answer 1

楼主没有说x变化趋势，这里讨论两种情况：

x-->∞时，它是无穷小量，因为1/x是无穷小量，而sin(1/x)是有界变量，所以乘积是无穷小量。

x-->0时，它既不是无穷小量也不是无穷大量，是一个无界变量。
比如
对于x按子列{Xk}取值: Xk=1/(kπ）,y=0
对于x按子列{Xn}取值: Xn=2/[(4n+1)π],y=(4n+1)π/2-->+∞

也就是说x-->0时，y没有固定的变化趋势。

x-->x0（x0是非0常数）这种情形应该不在考虑之列吧？

Answer 2

既不是无穷小，也不是无穷大。这是一个无穷大与有界函数的乘积，其结果不确定。
取一个子列Xn＝1/(nπ)，n→∞，则y→0。
取一个子列Zn＝1/(2nπ＋π/2)，n→∞，则y→∞。
所以根据函数极限与数列极限的关系，函数在x→0时既不是无穷小，也不是无穷大。

Answer 3

显然无穷大 因为-1<=sin(1/x)<=1而1/x->无穷

Answer 4

不收敛