Question

不等式问题。

a,b,c为正实数，a+b+c=1,求证：
有没有不用展开的方法？

Answer 1

(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=(1-a)(1-b)(1-c)/abc
=(1-a-b-c+ab+bc+ac-abc)/abc
=(ab+bc+ac-abc)/abc
=(ab+bc+ac)/abc-1

因为a+b+c=1,且a+b+c大于等于3*立方根(abc),
即立方根(abc)=3.

又因为(ab+bc+ac)大于等于3*立方根（a*a*b*b*c*c）,
所以，(ab+bc+ac)/abc大于等于9，
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8．

Answer 2

欲证 （1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）≥8
则 1-a-b-c+ab+ac+bc≥9abc (展开)
因为a+b+c=1 所以 上式为
ab+ac+bc≥9abc
abc都为正实数 所以abc>0
化简为 1/a+1/b+1/c≥9
a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9
又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc)
所以
1/a+1/b+1/c≥9 成立
所以不等式成立