Question

高中必修1函数题

定义在R上的函数y=f（x），f（x）≠0.当x＞0时，f（x）＞1.且对于任意的a，b∈R.有f（a+b）=f（a）·f（b）
⑴证明：f（0）=1
⑵证明：f（x）是R上的增函数
⑶若f（x）·f（2x-x²）＞1，求x的取值范围

Answer 1

（1）令a=1,b=0,则有：
f(1)=f(1) *f(0)
而 当x＞0时，f（x）＞1，即f(1)≠1
有： f(0)=1
(2)设x1>x2,x1,x2属于R
由对于任意的a，b∈R.有f（a+b）=f（a）·f（b）
得
f(x1)=f(x2)*f(x1-x2)
由 x1-x2>0得
f(x1-x2)>1
即 f(x1)>f(x2) 对所有x1,x2属于R
由此可知,f(x)是R上的增函数
(3)由已知得
f(x+2x-x^2)=f（x）·f（2x-x²）＞1
有
3x-x^2>0
解方程得 0<x<3
即x的取值范围是{x|0<x<3}