Question

计算下列二重积分

计算下列二重积分如图

Answer 1

对分子分母分别做变量替换，化为简单情形，然后用洛必达法则。
分子做变量替换x^2－t＝u，t＝x^2－u，dt＝－du，此时分子
为：积分(从0到x^2)f(u)du。分母做变量替换xt＝u，变为
x^2*积分(从0到x)f(u)du。因此原式
＝lim 积分(0到x^2)f(u)du/(x^2积分(0到x)f(u)du)
＝lim 2x*f(x^2)/(2x积分(0到x)f(u)du+x^2f(x))
＝lim 2f(x^2)/(2积分(0到x)f(u)du+xf(x)) 再洛必达
＝lim 4xf'(x^2)/(3f(x)+xf'(x)) 分子分母同除以x
＝lim 4f'(x^2)/(3f(x)/x+f'(x))
＝4f'(0)/(3f'(0)+f'(0))
=1。

追问

会做了……答案是64分之9×π²