Question

高中 函数与方程

已知函数f（x）=ax^2+4x+b（a＜0）a，b∈R。设方程f(x)=x的两根为α，β。

①若｜α-β｜=1，求a与b的关系式。
②若a、b均为负整数且｜α-β｜=1，求f（x）的解析式。

Answer 1

已知函数f( x)=ax2+4x+b(a<0),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1,x2,方程f(x)=x的两实根为α,β.
(2)若仅a为负整数,且f(1)=0,证明1≤(x1-x2的差的绝对值)<2.
(3)若a<1<β<2.证明x1x2<2.
解：已知函数f(x)=ax²+4x+b (a<0),
f(x)=0存在两实根为x1,x2 所以4²－4ab≥0 ==> ab≤4
f(x)=x存在两实根为α,β. 所以3^2－4ab≥0 ==> ab≤2.25
若仅a为负整数,且f(1)=0 有a+4+b=0 所以b=-4-a
由于 ab=-4a-a²=4-(a+2)²≤2.25
(a+2)²≥1.75
因a为负整数所以 a≤-4 （ a≤-4时 (a+2)²>=(-2)²=4>1.75
a=-3或－1时 (a+2)^2=1 a=-2时 (a+2)²=0 )
又有 x1＋x2=-4/a x1·x2=b/a
==> (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1·x2
````````````=16/a²-4b/a=16/a²-4(-4-a)/a
````````````=16/a²+16/a+4
````````````=16[(1/a)+(1/2)]²
(x1-x2)²>=16[(1/-4)+(1/2)]²=1
(x1-x2)²<16[0+(1/2)]²=4
所以 1≤|x1-x2|<2.

(3)若α<1<β<2.证明x1x2<2.
f(x)-x=ax²+3x+b=a(x-α)(x-β)
注意到a<0 f(1)=a(1-α)(1-β)>0 f(2)=a(2-α)(2-β)<0
而f(1)=a+4+b>0 f(2)=4a+8+b<0
所以 -4-a<b<-8-4a ==> -4/a-1>b/a>-8/a-4
由-4/a-1>-8/a-4 得 -4/a<3
x1·x2=b/a<-4/a-1<3-1=2

解(1):
因为:|α-β|=1
所以:(|α-β|)方=(a-b)方=1
又: (α+β)方 - 4αβ = (a-b)方 = 1
由题: α+β= b/a : αβ = -3/a 代入上式
得：a方 ＋ 4ab = 9
因为：a方＞0：ab ＞0，且a;b为负整数
解得：a = -1 ; b = -2
所以：f(x) = -x方 ＋ 4x - 2

(2):
因为：a + b + 4 = 0 ；a仅为负数：b就为正数
所以：a≤-4: b≥0
又因为：|x1-x2|方 ＝ (x1 + x2)方 - 4x1x2
又：x1 + x2 = 4 / a ; x1x2 = b / a
所以：|x1-x2|方 ＝ 4(a + 2)方 ／ a方
＝ 4〔(a + 2 )/a〕方
＝ 4〔1 + 2/a 〕方
又 ： a≤-4 ；所以：（1／2）≤1＋ 2/a＜1
所以：
4×（1／4）≤4〔1 + 2/a 〕方＜ 4
所以： 1≤|x1-x2|<2

(3) 因为：αβ ＝ b/a
且：x1x2 ＝ b/a
又：α<1<β<2
所以：αβ < 2
所以：x1x2 ＝ b/a＜2