Question

线性代数中的逆矩阵是怎么求的？

Answer 1

首先你要了解初等变换。

初等变换就3种。

1. E12 就是吧12行（列）互换

2. E12(K)就是把第1行（列）的K倍加到第2（行）

3. E1（K）就是把第1行都乘上K

然后了解如何化最简型

怎样化行最简：

这个其实很简单，一步一步来不要话错了就行了。无非就是要化成阶梯形，然后再把阶梯开头的元素化为1，他头顶上的元素化为0嘛

比如一个4阶矩阵。

首先你要把第一列，除了第一个元素都化成0。那么显然，就是用第二行，第三行，第四行，去减第一行的k倍。假设。第一行是（1,2,3,4）第二行第一个元素是3，那么你用第二行减去第一行的3倍的话，头一个元素不就肯定是0了吗。然后假设第三行第一个元素是4，那么就是第三行减去第一行的4倍。同理第四行也是一样的。此时你只要关注第一列的元素就行了，全力把他们化为0。等到完成的时候，矩阵就变成

1 2  3 4

0 *  *   *

0 *  *   *

0 *  *  *

这样就出来一个阶梯了对吧。

下面就是重复上面的工作。不过。不要在整个矩阵里面进行了，因为如果你带着第一行算的话，前面的0就肯定会被破坏了。下面你就直接在* 的那个3阶矩阵里面进行。把原来的第二行 0 * * *当作第一行来化下面的，

完工之后就是

1   2   3  4

0   *    *   *

0   0   *   *

0   0   *  * 

不就又出来一个阶梯吗。

反复这么做最后就化成

1  2   3   4

0  *    *    *

0  0   *    *

0  0   0   *

这个就是阶梯形了吧。。

然后化最简形就很简单了。用初等变化的第3条。显然我们可以吧最后一行的那个*除以他自己变成1

1  2  3 4

0  *  *  4

0  0 *  4

0  0  0 1

然后他头上的数，不论是多少都可以写成0，因为不论是多少，总可以化为0吧，如果是2012，就减去第四行的2012倍嘛，反正第四行只有一个1，前面都是0，怎么减都不会影响到前面的行

这样就化成了

1 2 3 0

0  * * 0

0 0 * 0

0 0 0 1

很显然，重复上面的过程就可以了，现在只要把第三行的那个*，除以自己，变成1，然后他头上的也就全可以化为0了

1 2 0 0

0  * 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

再来一次。就ok了嘛

初等变换求逆矩阵

比如你求A的逆矩阵，就是把A的右边拼上一个同阶的单位阵变成（A|E）

1 2 3  1 0 0 

4 5 6  0 1 0

7 8 9  0 0 1

然后把这个矩阵当作新的矩阵，然后就把左面那个部分化成单位阵（方法就是化最简型嘛），当你把左面的部分化成单位阵之后，右边就自动是A的逆矩阵了

（E|A逆）