Question

讨论f（x）=1/(1+e^1/x)， x≠0 在点x=0处的左右连续性。

Answer 1

因为f（x）=1/(1+e^1/x)是指数函数，而指数函数e^x,当x趋近于正无穷时，函数趋于正无穷大；当x趋近于负无穷时，函数趋于0。

1、右象限：当x趋近于0+时，1/x就相当于1除以一个为正且趋于0的数，那么结果必定为正，即结果为正无穷大。此时e^(-1/x)趋近于e^(负无穷)，即为0，则f(x)趋近于1。

2、左象限：当x趋近于0-时，1/x就相当于1除以一个为负且趋于0的数，那么结果必定为负，即结果为负无穷大。此时e^(-1/x)趋近于e^(正无穷)，即为正无穷，则f(x)趋近于负无穷大。

由此可知，左右象限不相等。所以函数1-e^(-1/x)在0处不连续。

指数函数：一般地，形如y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数 。也就是说以指数为自变量， 底数为大于0且不等于1的常量的函数称为指数函数，它是初等函数中的一种。

指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e上的这个函数写为exp( x)。还可以等价的写为 ex，这里的 e是数学 常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为 欧拉数。

Answer 2

①lⅰm(x→0+)f(x)=f(xo+)
即lⅰm(x→0+)1/[1+e^(1/x)]
=0(当x→0时1/x的极限为∞这是根据无穷小的倒数得出的)
②lⅰm(x→o-)f(x)=f(xo-)
即lⅰm(x→0-)f(x)
=lⅰm(x→o-)1/[1+e∧(1/x)]
=1(当x→0-时1/x就相当于1除以一个为负且趋于0的数，那么结果为-∞即e^-∞趋于0，所以最终结果为1