Question

抽屉原理的题目

1.证明：在任意5个整数中，一定能取出3个数，使它们的和能被3整除。
2.某校派出学生204人上山植树15301棵，其中最少一人植树50棵，最多一人植树100棵，证明至少有5人植树的棵树相同。

Answer 1

1.证明：

任一整数被3除的余数只有3种可能：或者整除，则余数为0，或者不能整除，则余数为1或2。所以，我们构造3个抽屉，分别放置形如3m、3m+1、3m+2的数，其中m为整数，这三类数也可称为余0类，余1类，余2类。

按余0类，余1类，余2类构造三个盒子，由抽屉原理，必有一盒子放有[5/3]+1=2个关于3的余数相同的数，则另外3个盒中放的3个数，或者同属一类，这时结论显然成立；若2个属一类，另1个属另一类，这时从三类不同余数的盒子，各抽一个数，则此三数和必为3的倍数。

命题得证。

2. 证明：

按植树棵数50，51，...，100构造51个盒子，由抽屉原理，必至少一个盒子里有4个学生。
而如果恰好每个盒子里4个学生，则总植树棵数为
4*(50+51+...+100)=4*150*51/2=4*3825=15300<15301
故其中有1个学生（设原植树棵数为k）必须多植1棵树
那么盒子(k+1)中就有5个学生

从而命题得证。