Question

微积分为什么是线性函数与高阶无穷小的和

Answer 1

u=根号(x^2+根x)-x=(x^2+根x-x^2)/[根号(x^2+根x)+x]
=1/[根(x+1/根x)+根x] x->无穷时, u->0
由于arcsinu ~ u(这个不用我证明吧)
故用u替代分子.
由于:lim(2根号x)/[根(x+1/根x)+根x] 中,分子分母同时除似根号x
=2lim1/[根(1+1/x)+1]=2/(1+1)=1
即lim(arcsin根号(x^2+根x)-x]/[1/(2根x)]=1
故:a/x^k中a=1/2 , k=1/2

(18) 由于都是高阶无穷小,即O(x^m)/x^m=0
我证第二个:
令f(x)=o(x^m),g(x)=o(x^n),即有
lim f(x)/x^m=0,lim g(x)/x^n=0,于是
lim f(x)*g(x)/x^(m+n)
=lim f(x)/x^m *lim g(x)/x^n
=0,即f(x)*g(x)=o(x^(m+n)),
于是o(x^m)*o(x^n)=o(x^(m+n)).

再用以上结论证明第一个:
(假若n>m)
只需证明:o(x^m)+o(x^n)=o(x^m)
由于:
limo(x^m)/x^m=0
x^n=x^(n-m)*x^m
所以有o(x^n)=o[x^(n-m)*x^m] =0(X^(n-m+m)
o(x^n)=o[x^(n-m)]o(x^m) (这是1中的结论)
两边除以x^m
o(x^n)/x^m=o[x^(n-m)]o(x^m)/x^m]=o[x^(n-m)]*0=0
所以有o(x^n)/x^m=0
于是就有了[o(x^m）+o(x^n）]/x^m=[o(x^m)/x^m+O(x^n)/x^m]=0+0=0
即:o(x^m）+o(x^n）=o(x^m) .