Question

函数奇偶性问题

这两个式子为啥第一个是偶函数
第二个是奇函数

Answer 1

⑴如果对于函数

定义域内的任意一个x，都有

或

那么函数

就叫做偶函数。关于y轴对称，

。

⑵如果对于函数

定义域内的任意一个x，都有

或

，那么函数

就叫做奇函数。关于原点对称，

。

⑶

如果对于函数定义域内的任意一个x，都有

和

，（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数

既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得

，存在一个b，使得

，那么函数

既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称

特殊的，

既是奇函数，又是偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与

比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数

在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不是关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如

[

]或[

]（定义域不关于原点对称）

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如

注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有

是既奇又偶函数

Answer 2

首先可以确定定义域关于原点对称，
令g(x)=f(x)+f(-x)，
所以g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，这是偶函数；
令h(x)=f(x)-f(-x)，
所以h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)，这是奇函数。

Answer 3

根据奇偶函数的定义
g(x) = f(x) +f(-x)
g(-x) = f(-x) + f(x)
因此g(x) 是偶函数
h(x) = f(x) - f(-x)
h(-x) = f(-x) - f(x) = -[f(x) - f(-x)]
因此h(x)为奇函数